Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A（6，0）和点B（3，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线沿x轴翻折得抛物线，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使与相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

(1) ；（2）；（3），，．

【解析】

试题分析：（1）把A、B两点坐标代入y1=ax2+bx,求得a、b的值，从而确定y1的解析式；

（2）将抛物线沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点．从而可求y2的解析式；

（3）过点B作BC⊥x轴于点C，易证是顶角为120º的等腰三角形．分两种情况讨论：①当点M在x轴下方时，就是，此时点M的坐标为．②当点M在x轴上方时，此时点M的坐标为（9，）、．

试题解析：（1）依题意，得   解得

∴抛物线的解析式为

（2）将抛物线沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点．

设抛物线的解析式为，

∴    解得

∴抛物线的解析式为．

（3）过点B作BC⊥x轴于点C，

则有．

∴，．

∵OC=3，OA=6，

∴AC=3.

∴，．

∴OB=AB．

即是顶角为120º的等腰三角形．

分两种情况：

①当点M在x轴下方时，就是，此时点M的坐标为．

②当点M在x轴上方时，假设，则有AM=OA=6，．

过点M作MD⊥x轴于点D，则．

∴，．  ∴OD=9.

而（9，）满足关系式，

即点M在抛物线上．

根据对称性可知，点也满足条件．

综上所述，点M的坐标为，，．

考点:二次函数综合题．