Question

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线与BC边相交于点D.

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.

Answer

(1)点D的坐标为(2,3);

(2) 抛物线的解析式为;

(3) 符合条件的点P有两个，P1 (3，0)、P2 (3，-4).

【解析】

试题分析：（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．

（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．

（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．

【解析】
(1) ∵四边形OABC为矩形，C(0,3)

∴BC∥OA，点D的纵坐标为3.

∵直线与BC边相交于点D，

∴. ∴点D的坐标为(2,3).

 (2) ∵若抛物线经过A(6,0)、D(2,3)两点，

∴

解得：∴抛物线的解析式为

(3) ∵抛物线的对称轴为x=3，

设对称轴x=3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，

∴∠BAD=∠AMP1.

①∵∠AP1M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP1.

∴P1 (3，0).

②当∠MAP2=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP2.

∴∠AP2M=∠ADB

∵AP1=AB，∠AP1 P2=∠ABD=90°

∴△AP1 P2≌△ABD

∴P1 P2=BD=4

∵点P2在第四象限，∴P2 (3，-4). 

∴符合条件的点P有两个，P1 (3，0)、P2 (3，-4).

考点：二次函数综合题．