Question

已知二次函数y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求证：抛物线y=x²–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点；

（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,若，求抛物线的表达式；

（3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m取何值时，x轴与相离、相切、相交.

Answer

（1）证明详见解析；（2）；（3）当或时，x轴与相离.；

当或或时，x轴与相切； 当或时，x轴与相交.

【解析】

试题分析：（1）令y=0，得到一个关于字母x的一元二次方程，求出此方程的判别式的值为，根据k>2，可得，即可得到答案.

（2）令，有；解得：. 根据k的取值以及点A、B的位置确定 ；由抛物线与y轴交于点C得：；根据Rt中∠OAC的正切值求得k的取值，进而可得抛物线的表达式.（3）根据直线与圆的位置关系是由圆心到直线的距离和圆的半径确定的，当⊙P与x轴相切时，即y=±1；根据相切时m的取值即可作出判断，注意分类讨论.

试题解析：

（1）证明：∵，

又∵，

∴.

∴即. 

∴抛物线y = x2 – kx + k - 1与x轴必有两个交点.

(2) 【解析】
∵抛物线y = x2 – kx + k -1与x轴交于A、B两点，

∴令，有.

解得：. 

∵，点A在点B的左侧，

∴.

∵抛物线与y轴交于点C,

∴.

∵在Rt中, ,

 ∴,   解得.

∴抛物线的表达式为.

（3）【解析】
当或时，x轴与相离. 

当或或时，x轴与相切.

当或时，x轴与相交.

考点：1、根的判别式；2、求二次函数的解析式；3、直线与圆的位置关系.