Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于点E，AF⊥BD与点F，延长AF交BC于点G.求证：AB²=BG·BC

Answer

见解析.

【解析】

试题分析：因为直径所对的圆周角是直角，所以作辅助线：连接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，证得∠C=∠BAG，又因为∠ABG是公共角，即可证得△ABG∽△CBA；由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=BG•BC．

试题解析：

证明：延长AF交圆于H

∵BD直径，AF⊥BD于点F

∴=

∴∠1=∠C

又∠ABG=∠ABC，

∴△ABG∽△CBA

∴

∴AB2=BG·BC．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.圆周角定理．