Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．

Answer

(1)见解析；（2）BD=.

【解析】

试题分析：(1)要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可;

(2)通过作辅助线,根据已知条件求出∠CBD的度数,在Rt△BCD中求解即可.

试题解析：

（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．

证明：连结OD，DE.

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°．

∵∠A=∠CBD，

∴∠A+∠CDB=90°．

∵OD=OA，

∴∠A=∠ADO．

∴∠ADO+∠CDB=90°．

∴∠ODB=180°-90°=90°．

∴OD⊥BD．

∵OD为半径，

∴BD是⊙O切线．

（2）∵AD:AO=8:5，

∴=．

∴由勾股定理得AD:DE:AE=8:6:10．

∵∠C=90°，∠CBD=∠A.

∴△BCD∽△ADE．

∴DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10．

∵BC=3，

∴BD=．

考点：1.圆切线的判定；2.相似三角形的性质.