Question

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB=1,OC=3,将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F.

（1）若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线的解析式;

（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积;

（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点的坐标.

Answer

（1）过点A,B,C的抛物线的解析式；

（2）S四边形ODFE= ；

（3）当时，，△AMC的面积有最大值，此时点M的坐标为()．

【解析】

试题分析：（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；

（2）先求出点D及点E的坐标，继而得出直线AE与直线CD的解析式，联立求出点F坐标，根据S四边形ODFE=S△AOE﹣S△ADF，可得出答案．

（3）连接OM，设M点的坐标为（m，n），继而表示出△AMC的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．

试题解析：(1)∵OB=1，OC=3 ，

∴C(0，-3)，B(1，0)，

∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，

∴A(-3,0)，

所以抛物线过点A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)，

设抛物线的解析式为，可得

解得，

∴过点A,B,C的抛物线的解析式；

 (2) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，△OBC沿y轴翻折得到△COD，

∴E（0，-1），D（-1,0），

可求出直线AE的解析式为,直线DC的解析式为，

∵点F为AE、DC交点，

∴F（，），

∴S四边形ODFE=S△AOE-S△ADF=；

（3）连接OM，设M点的坐标为，

∵点M在抛物线上，∴，

∴

=

∵，

∴当时，，△AMC的面积有最大值，

所以当点M的坐标为()时，△AMC的面积有最大值．

考点：二次函数综合题．