Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的值．

Answer

（1）证明见解析;（2）BC=6．

【解析】

试题分析：（1）利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C和∠B=∠OPB，则∠OPB=∠C，于是可判断OP∥AC，由于PD⊥AC，所以OP⊥PD，然后根据切线的判定定理可得到PD是⊙O的切线；

（2）由AB为直径得∠APB=90°，根据等腰三角形的性质得BP=CP，所以∠BAP=60°，在RtBAP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AP=AB=3，BP=AP=3，所以BC=2BP=6．

试题解析：（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OP=OB，

∴∠B=∠OPB，

∴∠OPB=∠C，

∴OP∥AC，

∵PD⊥AC，

∴OP⊥PD，

∴PD是⊙O的切线；

（2）【解析】
连结AP，如图，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∴BP=CP，

∵∠CAB=120°，

∴∠BAP=60°，

在RtBAP中，AB=6，∠B=30°，

∴AP=AB=3，

∴BP=AP=3，

∴BC=2BP=6．

考点：切线的判定．