Question

如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x²（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是    ．

Answer

此题应分四种情况考虑：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
【解析】
①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，
所以直线OA：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得，；
故A（，）；

②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得，；
故P（，3），那么A（3，）；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得、，
故P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
故A（2，2）；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得、，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QP，QP=，AH=OP=，
故A（，）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：则符合条件的点A的坐标是 （，）或（3，）或（2，2）或（，）．