Question

如图，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB，AC与圆O相交于点E，F．求证：AE•AB=AF•AC．

Answer

连接DE，证明Rt△AED∽Rt△ADB，Rt△AFD∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质得以证明．
证明：如图，连接DE，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°．
又∵BC切圆O于点D，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°．
在Rt△AED和Rt△ADB中，∠EAD=∠DAB，
∴Rt△AED∽Rt△ADB．
∴．
即AE•AB=AD2
同理连接DF，可证Rt△AFD∽Rt△ADC，AF•AC=AD2．
∴AE•AB=AF•AC．