Question

如图，抛物线y=-x²+x+6，与x轴交于A、B两点，与y轴相交于C点．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知E点（0，-3），在第一象限的抛物线上取点D，连接DE，使DE被x轴平分，试判定四边形ACDE的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）求三角形ABC的面积关键是得出AB，OC的长，已知抛物线的解析式，可先求出A，B，C三点的坐标即可得出AB，OC的长，进而可根据三角形的面积公式求出三角形ABC的面积．
（2）本题要先求出D点的坐标，由于DE被x轴平分，设DE交x轴于P，过D作DM⊥x轴于M，则有△EPO≌△DPM，那么D，E两点的纵坐标互为相反数，以此可求出D点的纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出D点的坐标，然后可根据D点的坐标求出DE的长，同理可求出AC，AE，CD的长，由此可判断出四边形AEDC的形状．
【解析】
（1）根据抛物线的解析式可求得：A（-3，0），B（4，0），C（0，6）
S△ABC=AB•OC=×7×6=21．

（2）四边形ACDE是平行四边形，
理由：设DE交x轴于点P．
作DM⊥x轴，DN⊥y轴，M、N是垂足．
在△EPO和△DPM中，
，
∴△EPO≌△DPM（AAS）．
则DM=EO=3．点D的纵坐标为3．
由于D在抛物线上，则有3=-x2+x+6，
x=-2（舍去）或x=3．
因此：D（3，3），
AC==3，ED==3，
AE==3，CD==3，
AC=DE，AE=DC，
∴四边形ACDE是平行四边形．