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如图,已知直线L与⊙O相切于点A,直径AB=6,点P在L上移动,连接OP交⊙O于...

如图,已知直线L与⊙O相切于点A,直径AB=6,点P在L上移动,连接OP交⊙O于点C,连接BC并延长BC交直线L于点D.
(1)若AP=4,求线段PC的长;
(2)若△PAO与△BAD相似,求∠APO的度数和四边形OADC的面积(答案要求保留根号).

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(1)在Rt△OAP中,根据勾股定理可将OP的长求出,减去半径OC的长即为PC的长; (2)如图,根据△PAO∽△BAD,可知∠2=∠APO,再根据∠1=2∠2,利用三角形的内角可将∠APO的度数求出;四边形OADC的面积可通过△ABD与△BOC的面积之差求得,也可由△OAP与△CDP的面积之差求得. 【解析】 (1)∵l与⊙○相切于点A, ∴∠A=90° ∴OP2=OA2+AP2 ∵OA=OC=AB=3,AP=4 ∴OP2=32+42 ∴OP=5 ∴PC=5-3=2; (2)∵△PAO∽△BAD,且∠1>∠2,∠A=∠A=90° ∴∠2=∠APO. 又∠1=2∠2,∠A=90°, ∴∠1=2∠APO, ∴∠1+∠APO=90° 即3∠APO=90° ∴∠APO=30° 在Rt△BAD中,∠2=∠APO=30° ∴AD=6tan30°=6× 方法一:过点O作OE⊥BC于点E ∵∠2=30°,BO=3 ∴OE=,BE=3×cos30°= ∴BC=2BE=3 ∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=AB×AD-BC×OE =×6×2 =; 方法二:在Rt△OAP中,AP=6tan60°=3,OP=2OA=6 ∴DP=AP-AD=3,PC=OP-OC=6-3=3 过点C作CF⊥AP于F ∵∠CPF=30° ∴CF=PC= ∴S四边形OADC=S△OAP-S△CDP=AP×OA-DP×CF =() =.
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考点分析:
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(2)如图①,当CP与⊙A相切时,求PO的长;
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(1)求BE的长;
(2)过点D作DF∥BC交⊙O于点F,求DF的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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