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如图,点O是Rt△ABC斜边上一点,⊙O与AC,BC分别相切于点M,N. (1)...

如图,点O是Rt△ABC斜边上一点,⊙O与AC,BC分别相切于点M,N.
(1)△AMO是否相似于△ONB?______(填“是”或“否”);
(2)如果OA=4,OB=3,⊙O的半径为______

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(1)是.根据切线的性质定理得到直角三角形,再根据等角的余角相等,证明两个直角三角形的一对锐角相等,则两角对应相等,两个三角形相似; (2)设圆的半径是r,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得. 【解析】 (1)∵⊙O与AC,BC分别相切于点M,N, ∴O M⊥AC,ON⊥BC, 在△AMO和△ONB中,∠AMO=∠ONB=90°, 又∵BC⊥AC,OM⊥AC, ∴OM∥BC, ∴∠AOM=∠OBN, 故△AMO∽△ONB; (2)∵OM∥CN,ON∥CM,OM=ON,∠C是直角, ∴四边形CMON是正方形, 设⊙O的半径为r,即OM=ON=CM=CN=r, 在Rt△AMO中,AM=, 又∵△AMO∽△ONB, ∴, 故, 解得:, 即⊙O的半径是. 故应该填是.
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考点分析:
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如图①,②,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(4,0),以点A为圆心,4为半径的圆与x轴交于O,B两点,OC为弦,∠AOC=60°,P是x轴上的一动点,连接CP.
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(2)如图①,当CP与⊙A相切时,求PO的长;
(3)如图②,当点P在直径OB上时,CP的延长线与⊙A相交于点Q,问PO为何值时,△OCQ是等腰三角形?

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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