Question

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x²图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H．记C、D的横坐标分别为x_c，x_D，于点H的纵坐标y_H．
（1）证明：①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3；②x_c•x_D=-y_H；
（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0）（t＞0），其他条件不变，结论S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3是否仍成立？请说明理由．
（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y=x²改为y=ax²（a＞0），其他条件不变，那么x_c，x_D和y_H又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明．

Answer

（1）由题意易求得A、B的坐标，将它们的横坐标代入抛物线的解析式中即可求出C、D的坐标；
①首先求出直线OC的解析式，联立B点的横坐标即可求出M点的坐标；以DM为底，A、B横坐标差的绝对值为高，可求出△CMD的面积；同理可根据梯形的面积公式求出梯形ABMC的面积，进而可判断出所求的结论是否正确；
②用待定系数法易求得直线CD的解析式，即可得到H点的坐标，然后再判断所求的结论是否正确．
（2）的解法同（1）；
（3）由于二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，at2），点D的坐标为（2t，4at2），然后设直线CD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出CD的函数解析式，接着得到H的坐标为（0，-2at2），也就得到题目的结论．
（1）证明：由已知可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），且
直线OC的函数解析式为y=x．
∴点M的坐标为（2，2），易得S△CMD=1，S梯形ABMC=（1.5分）
∴S△CMD：S梯形ABMC=2：3，即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
即；
∴直线CD的解析式为y=3x-2．
由上述可得点H的坐标为（0，-2），
即yH=-2（2.5分）
∴xC•xD=-yH．
即结论②成立（3分）

（2）【解析】
结论S△CMD：S梯形ABMC=2：3仍成立；（4分）
理由如下：∵点A的坐标为（t，0），（t＞0）；
则点B的坐标为（2t，0）
从而点C的坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2）；
设直线OC的解析式为y=kx，则t2=kt得k=t
∴直线OC的解析式为y=tx（5分）
又设M的坐标为（2t，y）
∵点M在直线OC上
∴当x=2t时，y=2t2
∴点M的坐标为（2t，2t2）（6分）
∴S△CMD：S梯形ABMC=•2t2•t：（t2+2t2）•t
=t3：（t3）
=（7分）

（3）【解析】
xC，xD和yH有关数量关系xC•xD=-yH（8分）
由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，at2），点D的坐标为（2t，4at2）（9分）
设直线CD的解析式为y=kx+b
则，
得；
∴CD的解析式为y=3atx-2at2（11分）
则H的坐标为（0，-2at2）
即yH=-2at2（11.5分）
∵xC•xD=t•2t=2t2（12分）
∴xC•xD=-yH．