Question

如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答下列问题：

（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A₁B₁C，并求出AB₁的长度；
（2）翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状并说明理由；
（3）平移：将△A₂B₁C₁沿直线l向右平移至△A₃B₂C₂，若设平移的距离为x，△A₃B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少．

Answer

（1）根据旋转的定义得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB′的长，就可以求出AB1的长度；
（2）四边形A2B1DE是菱形，可以证明A2B与DE平行且相等，得到四边形A2B1DE是平行四边形，又A2B1=B1D=4，所以平行四边形A2B1DE是菱形．
（3）y等于△ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A3B2与DE相交时，即当2≤x＜4时：根据A3B2∥DE，得到则重合部分的三角形与△A3B2C2相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合部分的长度，得到C1C2的长度．从而求出x的值．
另外一种情况是当A3B2与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C1C2的长度．从而求出x的值．
【解析】
（1）在△ABC中，由已知得：BC=2cm，AC=AB×cos30°=cm，
∴AB1=AC+CB1=AC+CB=cm．

（2）四边形A2B1DE菱形．
理由如下：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=AB=×4=2cm，
∵∠EDG=60°，∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°，
∴A2B1∥DE，
又∵A2B1=A1B1=AB=4cm，DE=4cm，
∴A2B1=DE，
∴四边形A2B1DE是平行四边形，
又∵A2B1=AB=4cm，
B1D=CD-B1C=6-2=4cm，
∴A2B1=B1D=4cm，
∴平行四边形A2B1DE是菱形．

（3）由题意可知：
S△ABC=cm2，
①当0≤x＜2或x≥10时，y=0，
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半．
②当2≤x＜4时，直角边B2C2与直角梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（x-2）cm，
则y=（x-2）（x-2）=（x-2）2，
当y=S△ABC=时，即（x-2）2=
解得（舍）或x=2+．
∴当x=2+cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．
③当4cm≤x＜8cm时，△A3B2C2完全与直角梯形重叠，即y=2cm2．
④当8cm≤x＜10cm时，B2G=B2C2-GC2=2-（x-8）=10-xcm
则y=（10-x）•（10-x）=（10-x）2，
当y=S△ABC=时，即（10-x）2=，
解得x=10-cm，或x=10+cm（舍去）．
∴当x=10-cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．
由以上讨论知，当x=2+cm或x=10-cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．