Question

正方形ABCD的边长为4，BE∥AC交DC的延长线于E．
（1）如图1，连接AE，求△AED的面积．
（2）如图2，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连接AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系？并说明理由．
（3）如图3，在点P的运动过程中，过P作PF⊥BC交AC于F，将正方形ABCD折叠，使点D与点F重合，其折线MN与PF的延长线交于点Q，以正方形的BC、BA为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）求证四边形ABEC是平行四边形，得出CE=AB，然后可求出△AEC的面积．
（2）求证△APC的面积与△ABC的面积相等，然后可推出四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积相等．
（3）点F在AC上，且PF⊥X轴，故可设点F的坐标为（m，-m+4）．已知D的坐标为（4，4），故可求得FD所在直线的斜率KFD．折痕MN⊥FD，故MN所在直线的斜率KMN•KFD=-1．可求得FD的中点G的坐标为（，）．进而求得故折痕MN所在直线的方程
令x=m，代入MN所在直线的方程，即得Q点的纵坐标从而确定y与x的关系式．
【解析】
（1）因为BE∥AC，AB∥CD，
所以四边形ABEC是平行四边形，
所以CE=AB=4，
所以△AED的面积为×4×（4×2）=16；

（2）四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积相等，
因为BE∥AC，所以△APC的面积与△ABC的面积相等，
所以△APC的面积+△ACD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=正方形ABCD的面积；

（3）点F在AC上，且PF⊥X轴，故可设点F的坐标为（m，-m+4），
已知D的坐标为（4，4），故FD所在直线的斜率KFD=-，
折痕MN⊥FD，故MN所在直线的斜率KMN=，
FD的中点G的坐标为（，）．
故折痕MN所在直线的方程为：
y=[（m-4）÷m][x-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2
令x=m，代入上式，即得Q点的纵坐标：
y=[（m-4）÷m][m-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2
=（m-4）2÷（2m）-（m-8）÷2=[（m-4）2-m（m-8）]÷（2m）=
将m改为x，即得点Q的坐标（x，y）之间的关系为：y=．