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如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,...

如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
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(1)①在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,从而推得∠BAD=∠ABC=60°.由E为AB的中点,得到AE=BE.又因为∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC. ②在Rt△ABC中,E为AB的中点,则CE=AB,BE=AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因为∠BAD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,则四边形BCFD是平行四边形. (2)在Rt△ABC中,设BC=a,则AB=2BC=2a,AD=AB=2a.设AH=x,则HC=HD=AD-AH=2a-x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2. 在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2.解得x=a,即AH=a.求得HC的值后,利用sin∠ACH=AH:HC求值. (1)证明:①在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, ∴∠ABC=60°. 在等边△ABD中,∠BAD=60°, ∴∠BAD=∠ABC=60°. ∵E为AB的中点, ∴AE=BE. 又∵∠AEF=∠BEC, ∴△AEF≌△BEC. ②在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点, ∴CE=AB,BE=AB. ∴∠BCE=∠EBC=60°. 又∵△AEF≌△BEC, ∴∠AFE=∠BCE=60°. 又∵∠D=60°, ∴∠AFE=∠D=60°. ∴FC∥BD. 又∵∠BAD=∠ABC=60°, ∴AD∥BC,即FD∥BC. ∴四边形BCFD是平行四边形. (2)【解析】 ∵∠BAD=60°,∠CAB=30°, ∴∠CAH=90°. 在Rt△ABC中,∠CAB=30°,设BC=a, ∴AB=2BC=2a. ∴AD=AB=2a. 设AH=x,则HC=HD=AD-AH=2a-x, 在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2, 在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2, 解得x=a,即AH=a. ∴HC=2a-x=2a-a=a. ∴sin∠ACH==.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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