Question

如图1，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4）．将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA₁B₁C₁，BC，A₁B₁相交于点M．
（1）求点B₁的坐标与线段B₁C的长；
（2）将图1中的矩形OA₁B₁C₁沿y轴向上平移，如图2，矩形PA₂B₂C₂是平移过程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于点M₁，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA₂B₂C₂与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如图3，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA₃B₃C₃．请你思考如何通过图形变换使矩形PA₃B₃C₃与原矩形OABC重合，请简述你的做法．

Answer

（1）用勾股定理求矩形OABC的对角线OB长，得点B1的坐标；B1C=B1O-OC；
（2）求分段函数，以A2落在BC上的时刻为界，将函数分为两段，画出图形，分别求函数解析式；
（3）属于开放性问题，解法多种，主要是围绕旋转，平移轴对称解题．
【解析】
（1）如图1，因为OB1=OB==5，
所以点B1的坐标为（0，5）．
因为C（0，4），所以OC=4，
则B1C=OB1-OC=5-4=1．

（2）在矩形OA1B1C1沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点A1运动到矩形OABC的边BC上时，
重叠部分的面积为三角形PA2C的面积，A2C==，又A2P=3，
根据勾股定理得：CP=，即4-x=
求得P点移动的距离．
当自变量x的取值范围为0≤x＜时，
如图2，由△B2CM1∽△B2A2P，
得CM1=，此时，y=S△B2A2P-S△B2CM1=×3×4-×（1+x），
即y=-（x+1）2+6（或y=-x2-x+）．
当自变量x的取值范围为≤x≤4时，
求得y=S△PCM1′=（x-4）2（或y=x2-x+）．

（3）答案：
①把矩形PA3B3C3沿∠BPA3的角平分线所在直线对折．
②把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度．
③把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿BC所在的直线对折．
④把矩形PA3B3C3沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点A3与点A重合．
提示：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．