Question

如图1，我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE在AB上，DE过点C，已知AC=DE=6．
（1）将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q，如图2．
①求证：△CQD∽△APD；
②连接PQ，设AP=x，求面积S_△PCQ关于x的函数关系式；
（2）将图1中的△DEF向左平移（点A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM=t，如图3．
①判断△BEN是什么三角形？并用含t的代数式表示边BE和BN；
②连接MN，求面积S_△MCN关于t的函数关系式；
（3）在旋转△DEF的过程中，试探求AC上是否存在点P，使得S_△PCQ等于平移所得S_△MCN的最大值？说明你的理由．

Answer

（1）①易得∠BCD=∠A=60°，∠ADP=∠CDE，那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ=x，那么PC=6-x．可表示出S△PCQ
（2）①由外角∠FEN=60°，∠B=30°，可得∠BNE=30°，∴NE=BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD=t，AB=12，那么BE=12-AD-DE=6-t．过E作EG⊥BN于点G．利用30°的三角函数可求得BG，进而求得BN
②容易利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面积
（3）利用二次函数的最值表示出S△MCN的最大值，让前面所求的面积的代数式等于即可．
【解析】
（1）①证明：∵∠F=∠B=30°，∠ACB=∠BDF=90°∴∠BCD=∠A=60°，∵∠ADP+∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°∴△CQD∽△APD
②∵在Rt△ADC中，AD=3，DC=3
又∵△CQD∽△APD，CQ=x．
∴S△PCQ=-x2+3x

（2）①△BEN是等腰三角形．BE=6-t，BN=（6-t）．
②S△MCN=（6-t）×t=-[（t-3）2-9]

（3）存在．
由题意建立方程-x2+3x=
解得X=或
即当AP=或AP=时，S△PCQ等于S△MCN的最大值．