Question

如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交直线BC于点E，交⊙O于点D．
（1）过点D作MN∥BC，求证：MN是⊙O切线；
（2）求证：AB•AC=AD•AE；
（3）如图2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延长线于点E，EA的延长线交⊙O于点D．结论AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）要想证MN是⊙O的切线，只要连接OD，求证OD⊥MN即可．
（2）欲证AB•AC=AD•AE，只需连接CD，AD平分∠BAC知∠BAD=∠CAD，圆周角知∠B=∠D，证明△ABE∽△ADC得出比例关系即可；
（3）欲证AB•AC=AD•AE，证明△AEC∽△ABD即可．
证明：（1）连接OD交BC于点H，
∵AD平分∠BAC，
∴．
∴OD⊥BC于H．
∵BC∥MN，
∴OD⊥MN于点D．
∴MN是⊙O的切线．

（2）连接CD，
∵∠ABE=∠ADC，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴．
∴AB•AC=AD•AE．

（3）结论AB•AC=AD•AE仍然成立．
连接BD，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACE=∠BDA．
∴△AEC∽△ABD．
∴．
∴AB•AC=AD•AE．