Question

如图，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在弧BC上运动（不与B，C重合），过点D作DE∥BC，DE交AC的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）在图1中，当AD=2，求AE的长；
（2）当点D为的中点时：
①DE与⊙O的位置关系是______；
②求△ADC的内切圆半径r．

Answer

（1）由于DE∥BC，那么∠E=∠ACB=60°；由圆周角定理易得∠ADC=∠B=60°，则∠ADC=∠E，即可证得△ADC∽△AED，根据相似三角形得到的比例线段即可求出AE的长；
（2）①当D为弧BC中点时，AD平分∠BAC，根据等边三角形三线合一的性质知AD垂直平分BC，因此AD必过圆心O，且AD⊥DE，由此可证得DE是⊙O的切线；
②作出内切圆，连接内心和三个切点，根据切线长定理将内切圆半径转化为直角三角形ADC三边之间的关系，然后求解．
【解析】
（1）如图，△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠B=60°，
又DE∥BC，
∴∠E=∠ACB；
又∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED，
∴=，又AD=2，
∴AE===（或6）．

（2）①∵D是的中点，
∴AD平分∠BAC；
∵△ABC是等边三角形，
∴AD垂直平分BC，即AD是⊙O的直径；
∵DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
②如图2，当D为的中点时，则=，
∴∠BAD=∠DAC=30°，又AB=AC
∴AD垂直平分BC．
AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=6，
∴DC=6•tan30°=6×=2
∴AD=2DC=4；
作Rt△ADC的内切圆⊙O′，
分别切AD、AC、DC于F、G、H点，易知CG=CH=r，
∴AG=AF=6-r，DH=DF=2-r；
∵AF+DF=AD，
∴6-r+2-r=4．
-2r=-6+2，
∴r=3-．