Question

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=，∠ACB=30°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）分别求AB，OE的长；
（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为______

Answer

（1）要证明DE是⊙O的切线，已知OD是圆的半径，只要证明OD⊥DE即可．
（2）根据勾股定理可求得BC的长，从而可求得AB，DE的长，再根据勾股定理即可求得OE的长．
（3）由第二问可知OE的长，根据题意不难求得圆E的半径r的取值范围．
（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=BC，
∴AD=CD．
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
在Rt△CBD中，CD=，∠ACB=30°
∴BC==2，
∴BD=1，AB=2，
在Rt△CDE中，CD=，∠ACB=30°
∴DE=CD=，BC==2
∵OD是圆O半径，
∴OD=1，
∴OE==．

（3）【解析】
如图，
当圆E的半径为-1时，OG=1；
当圆E的半径为+1时，OG=1，
故．