Question

如图，已知抛物线y=px²-1与两坐标轴分别交于点A、B、C，点D坐标为（0，-2），△ABD为直角三角形，l为过点D且平行于x轴的一条直线．
（1）求p的值；
（2）若Q为抛物线上一动点，试判断以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在过点D的直线，使该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项？如果存在，请求出直线解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据△ABD为等腰直角三角形，点D坐标为（O，-2），可求点B的坐标为（2，O）．将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，得p=．
（2）设点Q的坐标为（a，b），则有a2=4b+4．过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H．DQ=b+2．又点Q到直线l的距离QG=b+2．QG=DQ．⊙Q与直线l相切．
（3）先假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．设直线解析式为：y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2）．分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'，因为MM'∥NN'，可知MN2=DM．DN，即（x2+x1）2-5x1x2=0．根据交点的意义可得x1，x2是方程x2-4kx+4=O的两个根，
由根与系数的关系，得16k2-20=o，解得k=±，当k=±时，有△＞0，所以，满足条件的解析式为y=-2和y=--2．
【解析】
（1）由题意知，△ABD为等腰直角三角形，
又∵点D坐标为（O，-2）
∴OD=2，
∴OA=OB=OD=2．
∴点B的坐标为（2，O）．（2分）
将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，
得p=．（3分）

（2）以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l相切．（4分）
设点Q的坐标为（a，b），则有a2=4b+4．
过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H（如图1）．
∴DQ=b+2．
又∵点Q到直线l的距离OQ=b+2=QG．
∴QG=DQ．
故⊙Q与直线l相切．

（3）假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．
设直线解析式为）y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2）．
解法一分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'（如图2）
∴MM'∥NN'，
∴
∵MN2=DM．DN，
∴（x2+x1）2-5x1x2=0，（9分）
∵点M在直线y=kx-2上，
∴y1=kx1-2，
∵点M又在抛物线y=x2-1上，
∴y1=x12-1
∴kx1-2=x12-1，
即x12-4kx1+4=0，
同理，有x22-4kx2+4=0
∴x1，x2是方程x2-4kx+4=O的两个根，
由根与系数的关系，得16k2-20=o，
解得k=±
当k=±时，有△＞0，
所以，满足条件的解析式为y=-2和y=--2．