Question

如图，E为正方形的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F，  的平分线分别交AF、AD于点G、H．

（1）若，，求的长度；

（2）证明：．

Answer

（1）—1   （2）通过证明∠M=∠MBE得 BE=EM=AH+DF从而BE=AH+DF  

【解析】

试题分析：（1）∵ABCD是正方形

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE,

∴∠ABG=∠GBE=30°

∴∠AGB=∠GBE

∴∠ABG=∠AGB

∴AB=AG=      

又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°

∴AH=AB=1     

又∵ABCD是正方形

∴AD=AB

∴DH=—1     

（2）证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90°

∵ABCD是正方形

∴AD=BC,∠ADC=∠C=90°

∴∠ADF=∠C

∵AF∥BE

∴∠F=∠BEC

∴△ADF≌△BCE

∴DF=CE           

又由旋转可知：AH=CM,∠AHB=∠M,∠BAH=∠BCM=90°

∵∠BCD=90°

∴∠BCD+∠BCM=180°

∴点E、C、M在同一直线。 

∴AH+DF="EC+CM=EM"

又∵BG平分∠ABE,

∴∠ABG=∠GBE

又∵∠ABH=∠CBM

∴∠GBE=∠CBM

∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE

即 ∠GBC=∠MBE 

又∵正方形ABCD中，AD∥BC

∴∠AHB=∠GBC

∴∠GBC=∠M

∴∠M=∠MBE     

∴BE=EM=AH+DF

∴BE=AH+DF       

考点：正方形、角平分线，旋转