Question

如图，在直角坐标系中，点C（，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒。

（1）求出点B的坐标。

（2）当为何值时，△POQ与△COD相似？

（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180⁰，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M。由已知，直接写出：

①的取值范围为                ；

②点M移动的平均速度是               。

Answer

（1）；（2）（3）y=（＜）；（4）①；②点M移动的平均速度为每秒个单位.

【解析】

试题分析：（1）由题意得 ，由勾股定理得，证得≌，再结合垂直平分线的性质求解即可；

（2）分①当点P在轴的正半轴上时，②当点P在轴的负半轴上时，根据相似三角形的性质求解；

（3）由，根据三角形的面积公式求解即可；

（4）当与有公共点时，初始位置点P′与点A重合由已知得，，即可求得，根据终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时 ，从而可得t的范围，设的中点为F，当时，，把代入得：，当时，把代入，得：，即可得到的取值范围，则可得初始位置的抛物线为，此时，终止位置的抛物线为，此时，则，再根据移动的时间为秒即可求得结果.

（1）由题意得 ，由勾股定理得：

在与中

∴≌

∴BD=DC=2，    

∴BO=1

∴；

（2）①当点P在轴的正半轴上时，

由已知得，CP=，OP=CO－CP=，

由题意得：

即，解得；

②当点P在轴的负半轴上时

由题意得：

即，解得

综上所述：当△POQ与△COD相似；

（3）=（＜）；

（4）当与有公共点时，初始位置点P′与点A重合

由已知得，

，解得

终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时    

∴

设的中点为F，当时，

把代入得：

当时 ，把代入，得：

∴的取值范围为：

∴初始位置的抛物线为，此时

终止位置的抛物线为，此时

∴ 

∵移动的时间为秒，

∴点M移动的平均速度为每秒个单位.

考点：动点的综合题