Question

如图，已知∠AOB以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于F、E两点，再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD∥OB交OP于点D。

（1）若∠OFD＝116°，求∠DOB的度数；

（2）若FM⊥OD，垂足为M，求证△FMO≌△FMD.

Answer

（1）32°；（2）根据角平分线的性质结合平行线的性质得到∠A0D=∠ODF，再根据垂直的定义可得∠OMF=∠DMF，再结合公共边即可证得结论.

【解析】

试题分析：（1）先根据平行线的性质求得∠A0B的度数，再根据角平分线的性质求解即可；

（2）根据角平分线的性质结合平行线的性质得到∠A0D=∠ODF，再根据垂直的定义可得∠OMF=∠DMF，再结合公共边即可证得结论.

（1）∵OB∥FD，

∴∠0FD+∠A0B=18O°，

又∵∠0FD=116°，

∴∠A0B=180°－∠0FD=180°－116°=64°，

由作法知，0P是∠A0B的平分线，

∴∠D0B=∠A0B=32°；

（2）∵0P平分∠A0B，

∴∠A0D=∠D0B，

∵0B∥FD，

∴∠D0B=∠ODF，

∴∠A0D=∠ODF， 

又∵FM⊥0D，

∴∠OMF=∠DMF，

在△MFO和△MFD中，

∵∠OMF=∠DMF，∠A0D=∠ODF， FM=MF，

∴△MFO≌△MFD

考点：平行线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定