Question

已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF．

（1）求证：△ABF≌△ACE；

（2）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．

Answer

（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等边三角形，从而证得结论；（2）直角三角形

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等边三角形，从而证得结论；

（2）连接AD．先根据平行四边形的定义证得四边形ABDE是平行四边形，即得AE＝BD，再根据中点的性质可得BD＝DC，再结合AE∥DC可得四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证明即可.

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°．

∵DE∥AB，AE∥BD，

∴∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°．

∴△EAF是等边三角形．

∴AF＝AE．

在△ABF和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝60°，AF＝AE，

∴△ABF≌△ACE．   

（2）△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°

理由：连接AD．

∵DE∥AB，AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形．

∴AE＝BD．

∵D是BC中点，

∴BD＝DC．

∴AE＝DC．

∵AE∥DC，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AB＝AC，D是BC中点，

∴AD⊥DC．

∴四边形ADCE是矩形．

∴△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°．

考点：等边三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质