Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上有一动点E，满足∠DEQ=120°，EQ交射线DC于点F．

(1)求下底DC的长度；

(2)当点E是AB的中点时，求线段DF的长度；

(3)请计算射线EF经过点C时，AE的长度．

Answer

（1）DC=7 （2）DF＝6  (3) AE=2或5

【解析】

试题分析：【解析】
（1）作点B到DC的垂线，交DC于G

在梯形ABCD中，因为∠A=90°

所以DG=AB=6

因为∠B=120°，所以∠C=60°

又因为AD=BF=

所以CG=1

所以DC="DG+GC=6+1=7"

（2）【解析】
如图1，过E点作EG⊥DF，

∵E是AB的中点，

∴DG＝3，

∴EG＝AD＝，

∴∠DEG＝60°，

∵∠DEF＝120°，

∴tan60°＝，   

解得GF＝3，

∴DF＝6；

(3)如图2所示：

过点B作BH⊥DC，，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH＝AD＝，

∵∠ABC＝120°，AB∥CD，

∴∠BCH＝60°，

∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，

设AE＝x，则BE＝6－x，

在R t △ADE中，DE＝＝＝，

在R t △EFM中，EF＝＝＝，

∵AB∥CD，

∴∠EFD＝∠BEC，

∵∠DEF＝∠B＝120°，

∴△EDF∽△BCE，

∴＝，即＝，

解得x＝2或5．

∴AE=2或5．

考点：直角梯形的性质和勾股定理