Question

如图，已知抛物线（b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为      ，点C的坐标为      （用含b的代数式表示）；

（2）若b=8，请你在抛物线上找点P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你探索，在（1）的结论下，在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（b，0），C（0，）；

（2）当∠CAP=90°时，P（10，4.5）；当∠ACP=90°时，P（11，7.5）

（3）（1，4），

【解析】

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；

（2）先求出b=8时点B、点C的坐标，再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可；

（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．

（1）在中，当y=0时，x=1或b，

∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，

∴点B的坐标为（b，0），

当x=0时，y=

∴点C的坐标为（0，）；

当b=8时点B、点C的坐标分别为B（8，0），C（0，2），二次函数关系式为

设直线AC的解析式为

∵图象过点A（1，0），C（0，2）

∴，解得

∴直线AC的解析式为

当∠CAP=90°时，设直线AP的解析式为

∵图象过点A（1，0）

∴，

∴直线AP的解析式为

联立与解得，即此时点P坐标为（10，4.5）；

当∠ACP=90°时，设直线AP的解析式为

∵图象过点C（0，2）

∴直线AP的解析式为

联立与解得，即此时点P坐标为（11，7.5）；

（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．

∵b＞2，

∴AB＞OA，

∴∠Q0A＞∠ABQ．

∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，

由QA⊥x轴知QA∥y轴．

∴∠COQ=∠OQA．

∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．

∴AQ=CO=．

由AQ2=OA?AB得：（）2=b-1．

解得：b=8±4．

∵b＞2，

∴b=8+4．

∴点Q的坐标是（1，2+）．

（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，

∴，即OQ2=OC?AQ．

又OQ2=OA?OB，

∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1×b．

解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，

∴点Q的坐标是（1，4）．

∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

考点：二次函数的综合题