Question

如图，平面直角坐标系xOy中， Rt△AOB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，并且AB=3，OA=6，将△AOB绕点O逆时针旋转90度得到△COD．点P从点C出发（不含点C），沿射线DC方向运动，记过点D，P，B的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a<0）.

（1）直接写出点D的坐标；

（2）在直线CD的上方是否存在一点Q，使得点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形，若存在，求出P与Q的坐标；

（3）当点P运动到∠DOP=45度时，求抛物线的对称轴；

（4）求代数式a+b+c的值的取值范围(直接写出答案即可).

Answer

（1）D（-3；6）；（2）P（3，6），Q（0，12）；（3）x=；（4）

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质结合AB=3，OA=6即可得到结果；

（2）根据抛物线的对称性及菱形的性质求解即可；

（3）延长AB交直线DP于点H，连接BP，设P，可证 ?DOP≌?BOP，即可得到PB=DP=x+3，在正方形OAHC中，PH=6-x，BH=3，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而得到结果；

（4）根据二次函数的图象与系数的关系求解即可.

（1）由题意得D（-3；6）；

（2）∵O（0，0），D（-3；6），点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形

∴P（3，6），Q（0，12）

（3）延长AB交直线DP于点H，连接BP

设P，可证 ?DOP≌?BOP  

∴PB=DP=x+3

在正方形OAHC中，PH=6-x，BH="3"

∴

∴CP=x=2

∴P（2，6)）又D（-3，6）

∴对称轴是直线x=.

（4）a+b+c>. 

考点：二次函数的综合题