Question

如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer

（1） （2）存在！P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) （3）D(2,1)

【解析】

试题分析：（1）∵该抛物线过点C(0,-2)，∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．

将A(4,0),B(1,0)，代入，得  解之

∴此抛物线的解析式为．

（2）存在！如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，

当1＜m＜4时，AM=4-m，．又∵∠COA=∠PMA=90°,

∴① 当时，△PMA∽△COA，即  ．

解之 m1="2," m2=4（舍去），   ∴P(2,1)．

② 当时，△APM∽△CAO，即 ．

解之 m1="4," m2=5（均不合题意，舍去）

∴当14时，P(5,-2)

当m<1时，P(-3,-14)

综上所述，符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)

（3）如图，设D点的横坐标为t(0