Question

如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．

Answer

（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠A=∠C，CD∥AB，即得∠CDB=∠DBA，根据角平分线的性质可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠CDB，即可证得结论；

（2）先根据等腰三角形三线合一的性质证得BE⊥AD，由△ABE≌△CDF可得AE=CF，再结合平行四边形的性质可得DE=BF，从而证得结论.

【解析】

试题分析：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C

∵CD∥AB

∴∠CDB=∠DBA

∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD

同理∠CDF=∠BDF=∠CDB

∴∠ABE=∠CDF

∴△ABE≌△CDF；

（2）∵AB=DB，BE平分∠ABD

∴BE⊥AD

∴∠BED=90°

∵△ABE≌△CDF

∴AE="CF"

在□ABCD中，AD=BC，

∴AD-AE=BC-CF

∴DE=BF，AD∥BC

∴四边形DFBE是矩形．

考点：平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定