Question

已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.

（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED   EC（填“”“”或“”）

（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？

（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.

Answer

（1）ED=EC；（2）成立；（3）3

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；

（2）证法同（1）；

（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.

（1）连接OD

∵DE为⊙O的切线

∴∠ODE=90°

∴∠CDE+∠ADO=90°

∵AB=6，BC=8，AC=10

∴∠ABC=90°

∴∠A+∠C=90°

∵AO=DO

∴∠A=∠ADO

∴∠CDE=∠C

∴ED=EC；

（2）连接OD

∵DE为⊙O的切线

∴∠ODE=90°

∴∠CDE+∠ADO=90°

∵AB=6，BC=8，AC=10

∴∠ABC=90°

∴∠A+∠C=90°

∵AO=DO

∴∠A=∠ADO

∴∠CDE=∠C

∴ED=EC；

（3）CE=3.

考点：圆的综合题