Question

阅读下列材料：

我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋Bx＋C＝0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax＋Bx＋C＝0的距离（d）计算公式是：d＝ ．

例：求点P（1，2）到直线y＝ x－的距离d时，先将y＝ x－化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d＝ ＝ ．

解答下列问题：

如图2，已知直线y＝－x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x²－4x＋5上的一点M（3，2）．

（1）求点M到直线AB的距离．

（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） 6 （2）存在，P（，），△PAB面积的最小值为×5×＝

【解析】

试题分析：（1）将y＝－ x－4化为4x＋3y＋12＝0，由上述距离公式得：

d＝ ＝6

∴点M到直线AB的距离为6         

（2）存在

设P（x，x2－4x＋5），则点P到直线AB的距离为：

d＝

由图象知，点P到直线AB的距离最小时x＞0，x2－4x＋5＞0

∴d＝＝ ＝(x－ )2＋           

∴当x＝ 时，d最小，为          

当x＝时，x2－4x＋5＝()2－4×＋5＝ ，∴P（，）          

在y＝－ x－4中，令x＝0，则y＝－4，∴B（0，－4）

令y＝0，则xy＝－3。∴A（－3，0）

∴AB＝＝5              

∴△PAB面积的最小值为×5×＝       

考点：直线与抛物线