Question

如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．

（1）求A点的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（1，0）（2）ｙ＝2ｘ－4ｘ－6  （3）存在

【解析】

试题分析：【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G

∵AH∥EF∥DG，AD∥GH

∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形

∴FH＝AE，FG＝DE

∵AE＝DE

∴FG＝FH

∵AB∥DG

∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B

∴△CFG≌△BFH

∴FC＝FB     4分

【知识应用】过点C作CM⊥ｘ轴于点M，过点A作AN⊥ｘ轴于点N，过点B作BP⊥ｘ轴于点P

则点P的坐标为（ｘ，0），点N的坐标为（ｘ，0）

由探究的结论可知，MN＝MP

∴点M的坐标为（，0）

∴点C的横坐标为

同理可求点C的纵坐标为

∴点C的坐标为（，）    8分

【知识拓展】

当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（ａ，0），点D的坐标为（0，ｙ）

由上面的结论可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ

∴ａ＝10，ｂ＝－6

∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6）

同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的负半轴时

求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6）

当AB是对角线时

点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4） 14

考点：抛物线