Question

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．

（1）求证：AE平分∠DAC；

（2）若AB=4，∠ABE=60°．

①求AD的长；

②求出图中阴影部分的面积.

Answer

（1）用角平分线定理即可证得

（2）①3         ②

【解析】

试题分析：（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论；

（2）①先根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长；

②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知S△AOE=S△BOE=S△ABE求出△AOE的面积，由S阴影=S扇形AOE-S△AOE即可得出结论．

（1）证明：连接

∵与⊙相切于点

∴

即

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴平分        4分

（2）①

在中，

在中，

        7分

②

        10分

考点：角平分线、切线性质、锐角三角函数、扇形面积、