Question

如图,把一个等腰直角三角板放置于矩形上，三角板的一个角的顶点放在处, 且直角边在矩形内部绕点旋转，在旋转过程中与交于点.

（1）如图1，试问线段与的有何数量关系？并说明理由；

（2）如图1，是否存在为等腰三角形，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.

继续以下探索：

（3）如图2，以为边在矩形内部作正方形，直角边所在的直线交于，交于.设写出关于的函数关系式.

Answer

（1）=；（2）或；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接AF，先根据矩形的性质可得AD=BC，∠D=90°，由AE=BC可得AE=AD，再由∠E=90°可得∠D =∠E，即可证得Rt△AEF≌Rt△ADF，从而得到结论；

（2）分三种情况：①当时，②当=13时，③当时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可；

（3）同（1）证OE=OI，再根据勾股定理求解即可.

（1）=.

连接AF

∵ABCD是矩形

AD=BC，∠D=90°

∵ AE=BC

AE=AD

∵∠E=90°

∠D =∠E

又∵AF=AF

Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）

DF=EF；

（2）分三种情况：

①如图1，当时，过作于，于.

,

设

②如图2，当=13时，则

不可能出现.

③如图3，当时

在的垂直平分线上.

,

；

（3）如图4，同（1）证

考点：直角三角板的综合题