Question

如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是实数）在抛物线上，直线y=k x +b经过A，B两点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D，交抛物线于点E．

①直线x=t（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；

②将抛物线向上平移m(m＞0)个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．

Answer

（1）（2）①t1=1，t2="3" ②

【解析】

试题分析：（1）∵P（2a，－4a2＋7a＋2）（a是实数）在抛物线上，

∴抛物线的解析式为y=－4a2＋7a＋2=－4×()2＋7×＋2=－x2＋x＋2．

当y=0时，即－x2＋x＋2=0，解得x1=－，x2=4．

当x=0时，y=2．

∴A（0，2），B（4，0），C（－，0）．

∴解得

故直线AB的解析式为y=－x＋2．

（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（t，－ t2＋t＋2），F（t，－t＋2），

∴DE=4，FG=－t2＋t＋2－(－t＋2)=－t2＋4t．

∵FG∶DE＝3∶4，

∴－t2＋4t=3．

解得t1=1，t2=3．

②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m）

作AH⊥DE，垂足为H．

∴AE2=AH2+HE2=22+(5+m－2－m)2=13．即AE=．

∵EO平分∠AED，∴∠AEO＝∠DEO．

∵AO∥ED，∴∠DEO＝∠AOE．

∴∠AEO＝∠AOE．

∴AO=AE，即2+m=．解得m=2－

考点：函数与几何图形的结合