Question

如图，平面直角坐标系中，直线y＝－x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点E从点B出发沿射线BC方向以每秒个单位长的速度匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥AO于点F，连接DE、EF.

（1）当t为何值时，△BDE与△BAO相似；

（2）写出以点D、F、E、O为顶点的四边形面积s与运动时间t之间的函数关系；

（3）是否存在这样一个时刻，此时以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形，如果存在，求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）5或；（2）s＝＝24－（0＜t≤10），s＝（t＞10）；（3）或25s时

【解析】

试题分析：（1）由直线y＝－x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，可得OB＝6，OA＝8，则可得AD＝t，BE＝t，BD＝10－t，由△BDE与△BAO具有公共角∠ABO可得当或时两三角形相似，即可求得结果；

（2）①当点D在线段AB上时，先证得△ADF∽△ABO，根据相似三角形的性质可得四边形DFEB为平行四边形，根据平行四边形的性质求解即可；②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形，

根据梯形的面积公式求解即可；

（3）分①当点D在线段AB上时，②当点D在AB的延长线上时，证得四边形DFEB为平行四边形，根据平行四边形的性质及菱形的判定分析即可.

（1）∵直线y＝－x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，

∴OB＝6，OA＝8，

则AD＝t，BE＝t，BD＝10－t，

∵△BDE与△BAO具有公共角∠ABO．

∴当或时两三角形相似．

即或，解得t＝5或．

∴当t为5或时，△BDE与△BAO相似．

（2）①当点D在线段AB上时，

∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，

∴DF∶BO＝AD∶AB＝AF∶OA，∴DF＝，AF＝，

∴BE＝DF，∴四边形DFEB为平行四边形，S△DEF＝S△BEF＝SDFEB,

∴四边形OFDE的面积等于△BOF的面积，

∴s＝BO·OF＝×6×(8－)＝24－（0＜t≤10）．

②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形，

s＝(OE＋DF)·OF＝×(－6＋)×＝（t＞10）

（3）①当点D在线段AB上时，已知四边形DFEB为平行四边形，只需保证BD＝BE，即可保证四边形DFEB是菱形，即10－t＝，解得t＝．

②当点D在AB的延长线上时，易证四边形BEFD为平行四边形，只需保证BD＝BE，即可保证四边形DFEB是菱形，即t－10＝，解得t＝25．

综上所述，当t的值为或25时，以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形．

考点：动点的综合题