Question

如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）如果∠BDE＝60°，PD＝，求PA的长．

Answer

（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠ADO＝∠PBD，再由∠PDA＝∠PBD可得∠PBD＝∠BDO，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，即可证得结论；（2）1

【解析】

试题分析：（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠ADO＝∠PBD，再由∠PDA＝∠PBD可得∠PBD＝∠BDO，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，即可证得结论；

（2）先证得△AOD是等边三角形，即可得到∠P＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得PD＝2DO，在Rt△POD中，设OD＝AO＝x，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而得到结果.

（1）连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠ADO＝∠PBD.

又∵∠PDA＝∠PBD，

∴∠PBD＝∠BDO.

又∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，

∴∠ADO＋∠PDA＝90°即OD⊥PD

∴PD是⊙O的切线． 

（2）∵∠BDE＝60°，∠ODE＝90°，

∴∠BDO＝30°，

∵∠ADO＋∠BDO＝90°，

∴∠ADO＝60°．

∴△AOD是等边三角形

∴∠POD＝60°，

∵OD⊥PD，

∴∠P＝30°，

∴PD＝2DO．

在Rt△POD中，设OD＝AO＝x，则，

∴，解得，（不合题意，舍去），

∴AO＝1，PO＝2，

∴PA＝PO－AO＝1．

考点：圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定，勾股定理