Question

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

Answer

（1）①；②不变；（2），

【解析】

试题分析：（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF=30°即可；

（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=-2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+2．

（1）①连接EF，

∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，

∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，

∴EF∥AD，FM∥CB，

∵∠ABO=∠DCO=30°，

∴∠CDO=60°，

∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，

∴∠EFM=90°，

∴△EFM是直角三角形，

∵EM∥CD，

∴∠EMF=∠MFD=30°，

∴cos30°=；

②结论：的值不变.

连接EF、AD、BC

∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴

∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，

∴.

∴

∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，

∴∠AOD="∠BOC."

∴△AOD∽△BOC．

∴，∠1="∠2."

∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，

∴EF∥AD，FM∥CB，且，  

∴，∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4="∠5."

∵∠2+∠5+∠6=90°，

∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4="90°."

∴∠EFM=90°

∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，

∴∠EMF=30°.

∴；

（2）O作OE⊥AB于E，

∵BO=3，∠ABO=30°，

∴AO=3，AB=6，

∴AB?OE=OA?OB，

∴OE=，

∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，

这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=；

当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=，

∴线段PN长度的最小值为，最大值为.

考点：旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线的判定和性质，梯形的中位线和性质，锐角三角函数的定义