Question

已知：把和按如图（1）摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上．，，，，．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？

（2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

Answer

（1）2（2）（3）1

【解析】

试题分析：1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.  ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t，∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .P = 10－2 t.

 ∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：当t =" 2" s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.    4分

（2）过P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .

∵BC =" 6" cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S△ABC－S△BPE =－= －

= = .

∵，∴抛物线开口向上.

∴当t = 3时，y最小=.

答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2.      8分

（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t= 1.

(通过△QCF∽△PMF得到t= 1也可)

考点：相似三角形的判定