Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；

（3）在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为            ．

Answer

（1）三角形全等求证，进而分析；（2）（3）＜r＜ 

【解析】

试题分析：（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB  ∴CB＝CF    又∵AC＝CF ∴CB＝AC＝CF

∴以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F  ∴∠ABF＝90°

∴直线BF是⊙O的切线．                 3分

（2）【解析】
连接DO，EO，

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点 ∴∠AOD＝60°又∵OA＝OD ∴△AOD是等边三角形  ∴∠OAD＝60°，AB=10

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10

∴BF＝          6分

                  8分

（3）连接OC圆心距OC＝，圆O半径r=5．∴＜r＜ 

考点：全等三角形的性质和判定