Question

如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.

（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；

（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.

Answer

【解析】

试题分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．

（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．

（3）首先根据B、C、M的坐标，求出BC2、BM2、CM2的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，进而可确定抛物线的解析式．

（1）

抛物线顶点的坐标为（1，m）

抛物线与轴交于两点，

当时，

解得

两点的坐标为（）、（）；

（2）当时，，

点的坐标为.

5分

过点作轴于点，则

=

=

=3m

（3）存在使为直角三角形的抛物线.

过点作于点，则为，

在中，

在中，

①如果是，且那么

即

解得，

存在抛物线使得是；

②如果是，且那么

即

解得，

存在抛物线，使得是；

③如果是，且，那么

即

整理得此方程无解.

以为直角的直角三角形不存在.

综上所述，存在抛物线和

使得是.

考点：二次函数的综合题