Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90º，DE∥AB，DE交BC于 ，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB="30" º.

（1）求证：△FCD是等腰三角形

（2）若AB=4，求CD的长。

Answer

（1）先根据平行线的性质得到∠DEC=90°，即得∠DCE的度数，从而可得∠DCF的度数，即可得到结果；（2）8

【解析】

试题分析：（1）先根据平行线的性质得到∠DEC=90°，即得∠DCE的度数，从而可得∠DCF的度数，即可得到结果；

（2）先根据“ASA”证得△ACB≌△CDE，即得AC=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质即得结果.

（1）∵DE//AB，∠B=90°，

∴∠DEC=90°

∴∠DCE=90°-∠CDE="60°."                     

∴∠DCF=∠DCE -∠ACB=30°.

∴∠CDE=∠DCF.    

∴DF=CF.

∴△FCD是等腰三角形；

（2）在△ACB和△CDE中

∴△ACB≌△CDE. 

∴AC=CD.

在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4

∴AC=2AB=8.     

∴CD=8. 

考点：平行线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质