Question

如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（　　）

A．1：3           B．2：3            C．：2          D．：3

Answer

A

【解析】

试题分析：∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，

∴∠C=∠FDE，

同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，

∴△DEF∽△CAB，

∴△DEF与△ABC的面积之比=（）2，

又∵△ABC为正三角形，

∴∠B=∠C=∠A=60°，△EFD是等边三角形，

∴EF=DE=DF，

又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴△AEF≌△CDE≌△BFD，

∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，

在Rt△DEC中，

DE=DC×sin∠C=DC，EC=cos∠C×DC=DC，

又∵DC+BD=BC=AC=DC，

∴==，

∴△DEF与△ABC的面积之比等于：（）2==1：3．

故选：A．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等边三角形的性质．5