Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]

=（1+x）²[1+x]

=（1+x）³

（1）上述分解因式的方法是　　法，共应用了　　次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，则需要应用上述方法　　次，分解因式后的结果是　　．

（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数），必须有简要的过程．

Answer

（1）提取公因式  2 （2）2010 （1+x）2011 （3）（1+x）n+1

【解析】

试题分析：（1）首先提取公因式（1+x），再次将[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），进而得出答案；

（2）根据（1）种方法即可得出分解因式后的结果；

（3）参照上式规律即可得出解题方法，求出即可．

【解析】
（1）根据已知可以直接得出答案：

提取公因式，2；

（2）2010，（1+x）2011；

（3）【解析】
原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣1）]，

=（1+x）2[1+x+x（1+x）x（1+x）（n﹣2）]，

=（1+x）n+1．

考点：因式分解-提公因式法．