Question

设x＞0，试比较代数式x³和x²+x+2的值的大小．

Answer

当x=2时，x3=x2+x+2；当0＜x＜2时，x3＜x2+x+2；当x＞2时，x3＞x2+x+2

【解析】

试题分析：分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．然后做减法，因式分解后，讨论得解．

【解析】
设x=0，

则x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x+2=112，

所以x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．

为此，设x3=x2+x+2，则

x3﹣x2﹣x﹣2=0，

（x3﹣x2﹣2x）+（x﹣2）=0，

（x﹣2）（x2+x+1）=0．

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x﹣2=0，所以x=2．这样

（1）当x=2时，x3=x2+x+2；

（2）当0＜x＜2时，因为

x﹣2＜0，x2+x+1＞0，

所以（x﹣2）（x2+x+1）＜0，

即x3﹣（x2+x+2）＜0，

所以，x3＜x2+x+2．

（3）当x＞2时，因为

x﹣2＞0，x2+x+1＞0，

所以（x﹣2）（x2+x+1）＞0，

即x3﹣（x2+x+2）＞0，

所以x3＞x2+x+2．

综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．

考点：因式分解的应用．