Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F．

（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值；

（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少？

Answer

（1）2  （2）当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．

【解析】

试题分析：（1）设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2=k，利用S1+S2=2即可求出k；

（2）设，，利用S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=﹣+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2．

【解析】
（1）∵点E、F在函数y=（x＞0）的图象上，

∴设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，

∴S1=，S2=，

∵S1+S2=2，

∴=2，

∴k=2；

（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，

设，，

∴BE=4﹣，BF=2﹣，

∴S△BEF=﹣k+4，

∵S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，

∴S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=+4，

=﹣+5，

∴当k=4时，S四边形OAEF=5，

∴AE=2．

当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．

考点：反比例函数综合题．5