Question

如图，一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）  （2）在x轴上存在点P，点P的坐标为（11，0）

【解析】

试题分析：（1）根据一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的解析式；

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．

【解析】
（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点

∴，

∴

∴已知函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）

∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D

∵S△OBM=2，

∴，

∴

∴n=4（5分）

∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，

∴m=3

∵M（3，4）在双曲线上，

∴，

∴k2=12

∴反比例函数的表达式为

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，

∵MD⊥BP，

∴∠PMD=∠MBD=∠ABO

∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）

∴在Rt△PDM中，，

∴PD=2MD=8，

∴OP=OD+PD=11

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．