Question

已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4）.

（1）如图1，连接BO、BC、AB .

①填空：AC的长为      ，AB的长为      ；

②试判断的形状，并说明理由；

（2）如图2，过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接BP，以BP为一边在△ABP外侧作等边△BPQ，当四边形ABQP为梯形时，求点P的横坐标.

Answer

（1）①2，；②等边三角形；（2）或0或.

【解析】

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质结合点A、B、C的坐标即可求得结果；

②由A（0，2），B（，2）可得，在中，根据∠AOB的正切函数值即可得到，同理，即可得到结果；

（2）分三种情况：①当PQ∥AB时，②当P点与C点重合时，③当BP⊥CP时，根据等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、梯形的性质分析即可.

（1）①AC的长为2，AB的长为；

②△OBC是等边三角形. 理由如下：

∵A（0，2），B（，2）

∴

在中， 

∴，同理

∴△OBC是等边三角形；

（2）分三种情况讨论：

①当PQ∥AB时（如图1）：

点Q在CP上，作于D，则四边形是矩形

∴

∵△BPQ是等边三角形，

∴BD平分PQ，平分

∴

∴

∴点P的横坐标是；

②如图2，当P点与C点重合时，

∵在中，

∴，∵

∴，∴BQ∥AC,又CQ与AB不平行

∴四边形 ABQP是梯形.

∴点P的横坐标是0；

③如图3，当BP⊥CP时，

∵CP∥AB

∴BP⊥AB

∵在中，

∴

∵△BPQ是等边三角形

∴

∴

∴AP∥BQ

∴四边形 ABQP是梯形

∴点P的横坐标为

综上所述，四边形ABQP为梯形时，点P的横坐标是或0或.

考点：动点的综合题